-BIENVENIDOS- LÓGICA MATEMÁTICA

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La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostracionesy computación.

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APLICACIÓN DE LA LÓGICA MATEMÁTICA EN LA COMPUTACIÓN

LÓGICA COMPUTACIONAL

Es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos.

CIRCUITOS COMPUTACIONALES

El nivel menos abstracto dentro de una computadora está constituido por circuitos electrónicos que responden a diferentes señales eléctricas, siguiendo los patrones de la lógica booleana; esto es, compuertas lógicas que devuelven un valor dependiendo de las entradas que se le dan al sistema. Existen ocho compuertas lógicas básicas con las cuales se pueden formar sistemas muy complejos: AND, OR, Inverter, Buffer, NAND, NOR, XOR y XNOR. Todas ellas son representadas mediante un símbolo y una tabla de valores de verdad, que es simplemente un cuadro donde se ubican todas las posibles entradas y los valores que devolvería la compuerta dados dichos valores.

Todo sistema computacional, por muy complejo que sea, no está compuesto por más que circuitos electrónicos que únicamente entienden un lenguaje binario. La lógica computacional se encarga de modelar y optimizar tales sistemas a este nivel.

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.

EJEMPLO

Demostraremos que:
1+2+3+…………+n = n(n+1), » n perteneciente a los naturales (*)
2
1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)
2
Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:
1+2+3+………+k = k (k+1). (Hipótesis de inducción).
2
Demostremos que k – 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:
1+2+3+………+k+(k+1) = (k+1)(k+2).
2
Demostración:
(1+2+3+…….+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)
2
= k(k+1)+2(k+1)
2
= (k+1)(k+2)
2

Ejemplo:

Demuestre usando inducción que:

2 + 4+ 6 + 8+……….+ 2n = n (n+1)

n

2 i = n (n+1)

i =1

n=1

1

2*1 = 1(1+1)

i =1

= 1*2

= 2

Suponer valido para n = k

k

2i = k (k+1) Esto es la hipótesis

i =1

Demostrar para n = k+1

K+1

2i = (k+1) (k+2)

i =1

k+1 k

2i = 2i + 2(k+1)

i =1 i =1

= k (k+1) + 2(k+1)

= (k+1) (k+2)

ÁLGEBRA DECLARATIVA

Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.

Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es:

Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:

(B) si p es una proposición lógica, es una fbf.
(R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).
(R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.

Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

p

q

p Þ q

(p Ù ~ q)

~(p Ù ~ q)

p Þ q  ~(p Ù ~ q)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

 

¿Cómo simplificar en lógica?

Hay que utilizar equivalencias lógicas.

Por ejemplo, simplificar: ( p ^ q ) ^ ¬ q.

Para esto utilizamos las siguientes equivalencias lógicas:

( A ^ B ) ^ C <=> A^(B ^C)

A ^ ¬ A <=> F

A ^ F <=> F

( p ^ q ) ^ ¬q <=> F

Se puede observar que no existe distinción entre la equivalencia lógica y el esquema que la genera.

Ejemplo

Demostrar que una vez que p ^ q esta establecida, se puede concluir q.

Esta demostración se puede hacer de dos formas:

A) Se demuestra que p ^ q → q es una tautológica, es decir p ^ q <=> q.

Demostración

¬p V ¬q V q <=> V

B) Se demuestra que ( p ^ q ) ^ ¬q <=> F lo que nos lleva a que ( p ^ q ) ^ ¬q → F debe ser una tautológica

Representación y evaluación de predicados

La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se las representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados.

Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.

La lógica de predicados, se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que sólo serán derivadas consecuencias verdaderas.

  • El cuantificador universal; « indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo:

« X . . . .

Establece que «para todo X, es verdad que . . . «

  • El cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo:

$ X . . . .

Establece que «existe un X, tal que . . . «

 

ejemplos de predicados cuantificados:

« X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].

« Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].

$ Z, [cartero(Z) ^ mordió (boby, Z)].

VIDEO TUTORIAL

Cuatificadores

Cuantificadores

En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.

El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos los individuos.

Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.

Cuantificador Existencial

La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.

Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay al menos un x tal que…” o “para algún x…”.

EJEMPLOS:

Todos los humanos respiran

(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

Todos los alumnos son estudiosos

(∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

CREDITOS

CREADORES DEL SITIO

HERNANDEZ NUÑEZ HECTOR JESUS
GARCIA RAMIREZ ALEJANDRO IVAN
LARA MARIN VICTOR
AGUIRRE RAMIREZ EDUARDO
TINOCO SAENZ RICARDO

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LIGAS DE PAGINAS WEB DE CONSULTA

http://www.monografias.com/trabajos/iartificial/pagina4_2.htm

http://www.mitecnologico.com/Main/EquivalenciaLogica

http://www.mitecnologico.com/Main/ArgumentosValidosYNoValidos

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  UTPL Videoconferencias LOJA EC

LÓGICA DE PREDICADOS

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números,demostraciones y computación.

La lógica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones. Se tomara como elemento basico los objetos y las relaciones entre dichos objetos.Es decir, se distingue:

  • Que se afirma(predicado o relacion)
  • De quien se afirma(objeto)

Definimos a continuación las reglas sintácticas para construir fórmulas:
Definición 1:El alfabeto de la lógica de predicados estará formado por los siguientes conjuntos simbólicos:
•Conjunto de Símbolos de Variables(VAR): Es un conjunto de las últimas letras del alfabeto en minúsculas. Se utilizan subíndices, por ejemplo: x,y,z,x_1,y_1,z_1 \in VAR

•Conjunto de símbolos de Constantes (CONS): Este conjunto lo forman las primeras letras del alfabeto en minúsculas,también utilizaremos subíndices: a,b,c,a_1,b_1,c_1 \in CONS

•Conjunto de letras de función(FUNC): Representaremos a este conjunto por las letras f,g,h,L. Incluimos subíndices para poder diferenciar las funciones: f,g,h,L,f_1,g_1,h_1 \in FUNC

•Conjunto de letras de Predicado (PRED): Se representan mediante letras mayúsculas,  P,Q,R,K \in PRED

Símbolos de conectivas:

¬ = Negación

∨= Conectiva «o»

∧ = Conectiva «y»

→ = implicación

↔ = Doble implicación o equivalencia

Cuantificadores:

∃=existencial

∀=Universal

EJEMPLOS:

1.- Todo numero es imaginario.

∀(x)(N (x)→I(x))         se lee: «Para todo x tal que x es un numero entonces x es imaginario»

– Recuerda que x puede tomar cualquier valor.

2.-Algun numero no es par.

∃(x)(N (x)∧¬P(x))      se lee: «existe un x tal que x es un numero y no es par»

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